Batlamyus - Ptolemy Cosmography

GİRİŞ: Cladius Ptolemaeus İskenderiyeli Yunan gökbilimci, matematikçi ve coğrafyacıdır. Yaklaşık olarak 85 ile 165 yılları arasında yaşadığı kabul edilir. İki önemli yapıtın yazarıdır: Almagest ve Coğrafya. Bu yapıtlar Avrupa’nın orta çağın karanlığını Arapça çevirileri ile aşabilmişlerdir. Almagest adlı yapıtında Dünya merkezli bir Güneş Sistemi modeli önerilir. Bu model Kopernik’in Güneş merkezli modeline dek Batı ve İslam dünyalarında geçerli model olarak kabul edilmiştir. Geç İskenderiye Dönemi’nde yaşamış ünlü bilim adamlarından biridir. Bu bilim adamının bilime önemli katkılarından biri de geometride sık kullanılan Ptolemy teoremidir. Bu projede bu teoremi ve uygulamalarını ele aldık. AMAÇ: Bu projede amacımız Ptolemy Teoreminden yola çıkarak kirişler dörtgeninde orijinal bağıntılar elde etmektir. Ayrıca Ptolemy Teoreminden hareketle bir çembere içten ya da dıştan teğet olan dört çemberin aralarındaki teğetlerinin uzunlukları arasında çok sade bir bağıntının olduğunu göstermek ve bunu ispat etmek, bulduğumuz formüllerin uygulamasını The Geometer’s Sketchpad 5 programında göstermektir. YÖNTEM: Ptolemy teoremi ile ilgili çalışma yaparken bilgisayar ortamını matematiksel ispat için bir laboratuvar gibi kullandık. Bulduğumuz 10 teoremin her birini ispat etmeden önce The Geometer’s Sketchpad 5 programında çizimini yapıp formülün çalışıp çalışmadığını deneysel olarak ortaya koyduk. Başarılı olduğumuz ifadeleri bir teorem kabul ederek ispatımızı gerçekleştirdik. Bunun yanında kendimizden emin yola çıktığımız halde yaptığımız programda başarısız olan iddialarımızdan vazgeçtik. [5] numaralı referansımızda belirtilen altı farklı genellemeden yola çıkarak bilgisayar ortamında öngördüğümüz eşitlikleri denedik ve bu eşitlikleri ispatladık. İspatlarımızı yaparken lise düzeyinde gördüğümüz bilinen Kosinüs, Pisagor ve Ptolemy teoremlerini kullandık. Bu teoremlere ek olarak Varignon Teoremini de kullandık. Raporumuzdaki tüm çizim ve grafikleri Microsoft Visio 2010 programıyla çizdik. 4 Ptolemy (Batlamyus) Teoremi : Bir ABCD dörtgeni ancak ve ancak AB CD AD BC AC BD      olduğunda kirişler dörtgenidir. İspat: [BD] üzerinde m DCA m EBC ( ) ( )  olacak şekilde bir E noktası alırsak m DAC m DBC ( ) ( )  ( yay eşitliği olduğundan ) ADC BEC olur. AD AC DC AC BE AD BC BE BC EC = = =    (1) Ayrıca ABC DEC AB AC BC AC DE AB DC DE DC EC = = =    (2) (1) ve (2) eşitlikleri kullanılarak AC BE DE AD BC AB DC        = AC BD AD BC AB DC     = bulunur. Ptolemy Teoreminin Karşıtı: Bir dışbükey (konveks) dörtgende, karşılıklı kenarların çarpımlarının toplamı, köşegenlerin çarpımına eşit ise, bu dörtgen bir kirişler dörtgenidir. İspat: ABCD dörtgeninde, AB CD AD BC AC BD      Bu bağıntıyı sağlayan bir dörtgenin kirişler dörtgeni olmadığını kabul edelim. Bu durumda m ADE m BDC ( ) ( )  ve m DAE m DBC ( ) ( )  eşitliklerini sağlayacak biçimde alınan E noktası için, (A.A) benzerlik teoremi gereğince, DAE DBC olur ve buradan, D C A B Şekil 2 E D C A B Şekil 1 D C A B E Şekil 3 5 DA AE DE DB BC DC = = (3) ; diğer taraftan DA DE DB DC = ve m ADB m EDC ( ) ( )  olduğundan (K.A.K) benzerlik teoremi gereğince, ADB EDC ‘dir. Buradan da DB AB DC EC = (4) elde edilir. (3) ve (4) ‘ten AB CD AD BC AC BD      dir. Dolayısıyla , AE EC AC   olur. Yani E noktası AC üzerindedir. Bu nedenle; m DAC m DBC ( ) ( )  olur. DC doğru parçasını gören eş açıların köşeleri oldukları için de A, B noktaları D ve C’den geçen bir çember yayı üzerinde bulunur. Öyleyse, AB CD AD BC AC BD      bağıntısını sağlayan bir dışbükey dörtgen, kirişler dörtgenidir. Teorem 1: ABCD kirişler dörtgeni ve O çemberin merkezi; P,Q,R ve S sırasıyla merkezden AB, BC, CD ve DA kenarlarına indirilen dikme ayakları olsun. O noktası ABCD dörtgeninin iç kısmında kalsın. Buna göre ; AB CD BC AD 4 ( )         OP OR OQ OS olur. İspat: ABCD kirişler dörtgeni olduğundan AB CD AD BC AC BD      olur. P, Q, R ve S, ABCD dörtgeninin dikme ayakları ( [AB], [BC], [CD] ve [AD] kirişlerinin orta noktaları) olduğundan PQRS bir paralelkenardır. Bu durumda PS QR ve QP RS 2 2 BD CA     (Varignon teoreminin ispatı Teorem 4 ten sonra verilmiştir. Sayfa 13 e bakınız.) m OPA m OSA ( ) ( ) 180   ve m OQC m CRO ( ) ( ) 180   olduğundan APOS ve CQOR dörtgenleri kirişler dörtgenidir. APOS ve CQOR dörtgenleri kirişler dörtgeni olduğundan; D C B Şekil 4 A S P O Q R 6 m QOR m POS ( ) ( ) 180   dir. [PS] kenarının diğer tarafından OQR KPS  olacak şekilde bir K noktası alalım. m RQP m QPS m OQP m QPK ( ) ( ) ( ) ( ) 180    = öyleyse QOKP paralelkenardır. Benzer şekilde OKSR paralelkenardır. Açıkça görülüyor ki QP OK RS   dir. m PKS m POS ( ) ( ) 180  = olduğundan POSK dörtgeni bir kirişler dörtgenidir. POSK kirişler dörtgeninde Ptolemy teoremini uygularsak PK OS SK OP OK PS      OQ OS OR OP PQ PS      2 2 CA BD   , 4 ( )       OQ OS OR OP CA BD ABCD kirişler dörtgenine Ptolemy teoremini tekrar uygularsak, 4 ( ) ( )         OQ OS OR OP AB CD BC DA Bu ifade teoremin ispatının bittiğini gösterir. Teorem 2: ABCD kirişler dörtgeni , O çemberin merkezi P,Q,R ve S sırasıyla merkezden AB, BC, CD ve DA kenarlarına indirilen dikme ayakları olsun. , , , , , , , AB a BC b CD c DA d OP p OQ q OR r OS s         ise, a c p r b d s q      ve c a p r b d s q      olur. İspat: Çemberin merkezi O, ABCD dörtgeninin içinde olsun PQRS’nin paralelkenar olduğunu biliyoruz. 2 AC PQ RS m    2 BD RQ PS n    olsun. D C B Şekil 5 A S P O Q R K D C B A S P Q R O n s r m p q Şekil 6 7 Ayrıca OP AB ve OS AD          dir. Dolayısıyla OPAS dörtgeni kirişler dörtgenidir. O merkezli çemberin yarıçapı R olsun. Ptolemy teoreminden 2 2 a d      s p n R (1) Benzer şekilde OSDR, ORCQ, OQBP kirişler dörtgenlerinde Ptolemy teoremini uygularsak 2 2 c d      s r m R (2) 2 2 c b      q r n R (3) 2 2 a b      q p m R (4) eşitliklerini elde ederiz. (1) ve (2) , (3) ve (4) eşitliklerini taraf tarafa toplarsak, 2 2 2 2 2 2 2 2 a d c d c b a b                    s p s r n R m R q r q p ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 a c d a c b s p r q r p            ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 a c b d s q p r        ( ) ( ) ( ) ( ) a c s q p r b d        a c p r b d s q      elde edilir. Aynı şekilde (1) ve (4) , (2) ve (3) eşitliklerini taraf tarafa toplarsak, 2 2 2 2 2 2 2 2 a d a b c d c b                    s p q p n R m R s r q r ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 b d a b d c p s q r p s            ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 b d c a p r s q        ( ) ( ) ( ) ( ) p r d b s q c a        c a p r b d s q      elde edilir ve ispat biter. 8 Teorem 3: ABCD kirişler dörtgeni O çemberin merkezi; P, Q, R, S sırasıyla merkezden AB, BC, CD ve DA kenarlarına indirilen dikme ayakları olsun. , , , , , , , AB a BC b CD c DA d OP p OQ q OR r OS s         dir. a) O merkezi kirişler dörtgeninin iç bölgesinde kalıyorsa 1 2 q r s p p q r s a d b c a b c d               . b) O merkezi kirişler dörtgeninin dış bölgesinde ise 1 2 q r s p p q r s a d b c a b c d               . İspat: a) O merkezi kirişler dörtgenin iç bölgesinde kalıyorsa; Şekilde de görüldüğü gibi OP AB    ve OS AD    olduğundan APOS dörtgeni kirişler dörtgenidir. Aynı şekilde PBQO, QCRO, SDRO dörtgenleri kirişler dörtgenidir. sin ( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin       m ABC CDA ROS QOP B  sin ( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin       m BCD BAD POS QOR C  Diğer taraftan A ABCD A BCA A ACD A ABD A CBD ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     1 1 1 1 sin sin sin sin 2 2 2 2                 a b B c d D a d A b c C 1 1 sin ( ) sin ( ) 2 2             B a b c d C a d b c sin sin B a d b c C a b c d        (1) bulunur. ABCD dörtgenindeki ABC ve BCD üçgenlerine sinüs teoremini uygularsak 2 sin sin AC BD R B C   olduğu açıktır. Bu iki eşitlikten ; sin sin sin sin AC BD AC B B C C BD    (2) elde edilir. D C B Şekil 7 A S P O Q R 9 (1) ve (2) eşitlikleri kullanılarak ; sin sin B a d b c AC C a b c d BD         elde edilir. Ayrıca; ( ) ( ) 2 A ABCD  A PQRS     A OPQ A OQR A ORS A OSP ( ) ( ) ( ) ( )   1 1 sin 2 2       B a b c d 1 1 1 1 sin sin sin sin 2 2 2 2                 B p q C q r D r s A s p 1 1 1 1 sin sin sin sin 2 2 2 2                 B p q C q r B r s C s p     1 1 sin sin 2 2             B p q r s C q r s p     1 1 sin sin 2 2 2 a b c d B p q r s C q r s p                          sin 2 sin 2 B a d b c q r s p C a b c d p q r s a b c d                   2 2                          q r s p a b c d a d b c a b c d p q r s a d b c            2                          q r s p a b c d p q r s a d b c a d b c a b c d              1 2 q r s p p q r s a d b c a b c d               b) O merkezi kirişler dörtgeninin dış bölgesinde kalıyorsa; A S O B C D P Q R m n s p q r Şekil 8 10 A ABCD A ABC A ACD A ABD A BCD       ( ) ( ) ( ) ( ) ABC , ACD , ABD ve BCD üçgenlerine sinüs teoremini uygularsak 1 1 1 1 sin sin sin sin sin 2 2 2 2 sin B a d b c a b B c d D a d A b c C C a b c d                            ( ) ( ) ( ) ( ) 2 A ABCD      A PQRS A OPQ A OQR A OSP A ORS   1 1 1 1 1 1 sin sin sin sin( ) sin( ) 2 2 2 2 2 2                   B a b c d B p q C q r POS p s SOR s r   1 1 1 1 1 1 sin sin sin sin sin 2 2 2 2 2 2                   B a b c d B p q C q r A p s D s r   1 1 1 1 1 1 sin sin sin sin sin 2 2 2 2 2 2                    B a b c d B p q C q r C p s B s r       1 1 sin sin 2 2 2 a b c d B p q s r C q r s p                           sin 2 sin 2 B a d c b q r s p C a b c d p q r s a b c d                     2 2                          q r s p a b c d a d b c a b c d p q r s a d b c            2                          q r s p a b c d p q r s a d b c a d b c a b c d              1 2 q r s p p q r s a d b c a b c d               bulunur. Teorem 4: ABCD kirişler dörtgeni ve O çemberin merkezi olmak üzere AC ve BD nin kesim noktası P olsun. O1 ,O2 ,O3 ve O4 sırasıyla ABP , BCP ,CDP ve DAP üçgenlerinin çevrel çemberlerinin merkezi R1 , R2 , R3 ve R4 sırasıyla bu çemberlerin yarıçapları olsun. O dan AB ye ; BC ye ; CD ye ; DA ya indirilen dikmelerin ayakları sırasıyla K,L,M ve N olsun. a) R R R R OO OO OO OO 1 2 3 4 1 2 3 4        b) R R R R O O O O O O O O OO OO OO OO 1 3 2 4 1 2 1 4 2 3 3 4 1 3 2 4            11 İspat: A B C D P O1 O O3 O4 O2 Şekil 9 a) O O BD 1 2    ve O O BD 3 4    olduğundan OO1 2  // OO3 4  ve O O AC 2 3   ve O O AC 1 4   olduğundan O O2 3  // OO1 4  böylece O O O O 1 2 3 4 ‘ün bir paralel kenar olduğunu gördük. 180 ( ) ( ) ( ) ( )     m ABC m CDA m BAP m BCA  OO AB 1    ve OO BC 2    olduğundan OKBL bir kirişler dörtgenindir. OO AD 4    ve OO CD 3    olduğundan OMDN bir kirişler dörtgenindir. ABCD bir kirişler dörtgeni olduğundan m ABC m CDA ( ) ( ) 180   1 2 3 4 m O OO m O OO ( ) ( ) 180   ABP üçgeninde 2 1 m BAP m O O P ( ) ( )  BCP üçgeninde 1 2 m BCP m O O P ( ) ( )  m ABC m BAP m BCP m O O P m O O P m O PO ( ) 180 ( ) ( ) 180 ( ) ( ) ( )           2 1 1 2 1 2  Benzer şekilde 2 3 m BCD m O PO ( ) ( )  12 3 4 m CDA m O PO ( ) ( )  1 4 m DAB m O PO ( ) ( )  olduğunu buluruz.. 3 4 sin( ) sin( ) sin( ) O OO ABC CDA   O noktası O O O O 1 2 3 4 paralelkenarının içindedir. Dolayısıyla 1 2 3 4 1 2 4 3 1 2 3 4 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 A O PO A O PO A O OO A O OO A O O O O       1 2 3 4 1 2 3 4    1 1 sin( ) sin( ) 2 2            ABC PO PO PO PO CDA OO OO OO OO PO PO PO PO OO OO OO OO 1 2 3 4 1 2 3 4        R R R R OO OO OO OO 1 2 3 4 1 2 3 4        bulunur. b) İspatın a kısmında 2 3 m BCD m O PO ( ) ( )  ve 1 4 m DAB m O PO ( ) ( )  olarak bulmuştuk. Buradan 2 1 3 4 m BCD m DAB m O PO m O PO ( ) ( ) ( ) ( ) 180     OO1 4 ’ün diğer tarafında bir P noktası alalım. O P O O PO 1 2 3 4   olacak şekilde , 3 2 2 1 2 2 1 1 4 1 m O O O m O O O m PO O m O O P ( ) ( ) ( ) ( ) 180      olduğundan O O P P 2 1  bir paralelkenardır. 2 3 3 4 3 3 4 4 1 4 m O O O m O O O m PO O m O O P ( ) ( ) ( ) ( ) 180      olduğundan O O P P 3 4  bir paralelkenardır. O P O P 1 2   , P O PO 4 3   ve O O P P O O 1 2 3 4    1 4 1 4 m O P O m O PO ( ) ( ) 180     olduğundan O P O P 1 4  kirişler dörtgenidir. O P O P 1 4  dörtgenine Ptolemy teoremi uygularsak, O P O P O P O P O O O O 1 4 1 4 1 2 1 4        R R R R O O O O 1 3 4 2 1 2 1 4    (1) OO1 4  ün diğer tarafından O noktası alalım. O O O O OO 1 4 2 3   olacak şekilde aynı yöntemi kullanarak OO OO OO OO O O O O 1 3 2 4 1 2 1 4      (2) 13 (1) ve (2) yi kullanarak R R R R O O O O O O O O OO OO OO OO 1 3 2 4 1 2 1 4 2 3 3 4 1 3 2 4            bulunur. Varignon Teoremi: D C B Şekil 10 A S P Q R Bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları bir paralelkenar belirtir ve bu paralelkenarın kenarları köşegenlere paraleldir. İspat: ABCD dörtgenimizin [AB],[BC],[CD] ve [DA] kenarlarının orta noktaları sırasıyla P, Q, R ve S olsun. P ve S orta noktalar olduğundan ABD üçgeninde [PS] orta tabandır. Benzer şekilde [PQ],[QR] ve [RS]’nin de orta taban olduğunu buluruz. Orta tabanlar ilgili tabanlara paralel olacağından PQRS dörtgeni bir paralel kenardır. Varignon Teoremi sadece dışbükey dörtgenler için değil, tüm dörtgenler için geçerlidir. Dörtgenin içbükey, çapraz ya da aykırı olması önermenin doğruluğunu bozmaz. Dışbükeye yapılan kanıtın işlemleri aynen uygulanırsa bu görülür. Aşağıdaki şekilleri inceleyeniz. 14 A B C R D S P Q Şekil 11 A B C D K N L M Şekil 12 15 [5] numaralı referansımızda belirtilen altı farklı genellemeden yola çıkarak bilgisayar ortamında eşitlikleri denedik ve bu eşitlikleri ispatladık. Altı farklı durum için elde ettiğimiz teoremlerimiz aşağıdadır. 16 Teorem 5: O merkezli çemberin içine 1 2 3 4 O O O O , , , merkezli çemberler içten teğet olsun. O ve O 1 2 merkezli çemberlerinin teğetleri 1 t , O ve O 2 3 merkezli çemberlerin teğetleri 2 t , O ve O 3 4 merkezli çemberlerin teğetleri 3 t ,O ve O 4 1 merkezli çemberlerin teğetleri 4 t , O ve O 1 3 merkezli çemberlerin teğetleri 5 t , O ve O 2 4 merkezli çemberlerin teğetleri 6 t olsun. Bu durumda teğetler arasında aşağıdaki ilişki vardır. 1 t . 3 t + 2 t . 4 t = 5 t . 6 t A B C D E F G H O1 O K L M N O2 O3 O4 Şekil 13 P Q R S t5 t6 t1 t2 t3 t4 17 İspat : B A O Q O1 P O2 r1 r2 r2-r1 T a R-r2 R-r1 t1 t1  Şekil 14 O çemberinin yarıçapı R , 1 2 3 4 O O O veO , , çemberlerinin yarıçapları sırasıyla 1 2 3 4 r r r ve r , , ; 1 2 3 4 O O O veO , , çemberlerinin O merkezli çembere teğet olduğu noktalar sırasıyla P,Q,R ve S; PQ QR RS ve SP , , sırasıyla a, d, c ve b ; 1 2 O den BO ye ' ' indirilen dikmenin ayağı T ; 1 3 O denMO e ' ' indirilen dikmenin ayağı V ; 1 2 3 4 O O O veO , , çemberlerinin arasındaki teğet noktaları sırasıyla A,B,C,D,E,F,G ve H ; O veO 1 3 çemberlerinin arasındaki teğet noktaları N ve M; O veO 2 4 çemberlerinin arasındaki teğet noktaları K ve L; AB CD EF GH , , , , NM ve KL sırasıyla 1 2 3 4 5 6 t t t t t ve t , , , , ; m POQ    ve m POR    ; PR ve QS sırasıyla e ve f olsun. Şekilde görüldüğü gibi POQ üçgeninde kosinüs teoremi uygularsak; 2 2 2 2 PQ a R R R R        2 cos 2 2 2 a R R      2 2 cos 2 2 a R    2 (1 cos )  (1) cos '  yı çekersek ; 2 2 cos 1 2 a R     (2) O TO1 2 üçgenine Pisagor teoremi uygularsak; 2 2 2 1 2 1 2 1 O O t r r    ( ) (3) O OO 1 2 üçgenine kosinüs teoremi uygularsak; 2 2 2 1 2 1 2 1 2 O O R r R r R r R r           ( ) ( ) 2 ( ) ( ) cos 18 (2) de bulduğumuz değeri bu denklemde yerine yazarsak; 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 1 2 a O O R r R r R r R r R                  2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 a R Rr r R Rr r R Rr Rr r r R r R r R                 Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında, 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2 a O O r r R r R r R              (3) ifadesinde yerine yazarsak, 2 2 1 1 2 2 2 ( ) ( ) 2 a t R r R r R            Buradan, 2 2 2 1 1 2 ( ) ( ) t R a R r R r      (4) olarak bulunur. Benzer biçimde, 2 2 2 4 1 4 ( ) ( ) t R b R r R r      (5) 2 2 2 3 3 4 ( ) ( ) t R c R r R r      (6) 2 2 2 2 2 3 ( ) ( ) t R d R r R r      (7) olarak bulunur. Aynı yöntemi kullanarak, OVO1 3 üçgeninde Pisagor teoremini uygularsak, 2 2 2 1 3 5 3 1 O O t r r    ( ) (8) POR üçgenine kosinüs teoremi uygularsak, 2 2 2 2 PR e R R R R        2 cos 2 2 2 e R R      2 2 cos 2 2 e R    2 (1 cos )  (9) cos '  yı çekersek; 2 2 cos 1 2 e R     (10) O OO 3 1 üçgenine kosinüs teoremi uygularsak; 2 2 2 3 1 1 3 1 3 O O R r R r R r R r           ( ) ( ) 2 ( ) ( ) cos (10) da bulduğumuz değeri bu denklemde yerine yazarsak; 19 2 2 2 2 3 1 1 3 1 3 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 1 2 e O O R r R r R r R r R                  2 2 2 2 2 2 1 1 3 3 1 3 1 3 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 e R Rr r R Rr r R Rr Rr r r R r R r R                 Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında, 2 2 2 3 1 1 3 1 3 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2 e O O r r R r R r R              (8) ifadesinde yerine yazarsak, 2 2 5 1 3 2 2 ( ) ( ) 2 e t R r R r R            Buradan, 2 2 2 5 1 3 ( ) ( ) t R e R r R r      (11) olarak bulunur. Benzer şekilde aynı yöntemi 6 t için de uygularsak, 2 2 2 6 2 4 ( ) ( ) t R f R r R r      (12) PQRS kirişler dörtgeninde Ptolemy teoremini uygularsak, a c b d e f      ise, a,b,c,d,e ve f değerlerini yerine yazarsak, 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 2 3 1 2 3 4 1 4 2 3 2 2 2 2 5 6 1 3 2 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t R t R t R t R R r R r R r R r R r R r R r R r t R t R R r R r R r R r                              1 4 2 3 1 2 3 4 1 4 2 3 5 6 1 3 2 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t R t R t R t R R r R r R r R r R r R r R r R r t R t R R r R r R r R r                               1 3 4 2 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) t R t R t R t R R r R r R r R r R r R r R r R r t R t R R r R r R r R r                               2 2 1 3 2 4 5 6 1 2 3 4 1 2 3 4 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) R t t t t R t t R r R r R r R r R r R r R r R r                   20 Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında , 1 3 2 4 5 6 t t t t t t      Sonucu elde edilir. Bu da ispatın bittiğini gösterir. Teorem 6: O merkezli çemberin içine 1 2 3 4 O O O O , , , merkezli çemberler dıştan teğet olsun. O ve O 1 2 çemberlerin teğetleri 1 t , O ve O 2 3 merkezli çemberlerin teğetleri 2 t , O ve O 3 4 merkezli çemberlerin teğetleri 3 t , O ve O 4 1 merkezli çemberlerin teğetleri 4 t , O ve O 1 3 merkezli çemberlerin teğetleri 5 t , O ve O 2 4 merkezli çemberlerin teğetleri 6 t olsun. Bu durumda teğetler arasında aşağıdaki ilişki vardır. 1 t . 3 t + 2 t . 4 t = 5 t . 6 t D O1 O O4 Şekil 15 P Q R S t5 t6 t2 t3 t4 E O3 B A C K N M O2 t1 F G H L 21 İspat : O1 O P Q B A O2 t1 a t1 r1 r2-r1 r2  R+r1 R+r2 T Şekil 16 Şekil 15’te olduğu gibi 1 2 3 4 O O O veO , , merkezli çemberleri dış teğet olarak alalım. Şekilde görüldüğü gibi POQ üçgeninde kosinüs teoremi uygularsak; 2 2 2 2 PQ a R R R R        2 cos 2 2 2 a R R      2 2 cos 2 2 a R    2 (1 cos )  (1) cos '  yı çekersek ; 2 2 cos 1 2 a R     (2) O TO1 2 üçgenine Pisagor teoremi uygularsak; 2 2 2 1 2 1 2 1 O O t r r    ( ) (3) O OO 1 2 üçgenine kosinüs teoremi uygularsak; 2 2 2 1 2 1 2 1 2 O O R r R r R r R r           ( ) ( ) 2 ( ) ( ) cos Şekil 16 22 (2) de bulduğumuz değeri bu denklemde yerine yazarsak; 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 1 2 a O O R r R r R r R r R                  2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 a R Rr r R Rr r R Rr Rr r r R r R r R                 Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında, 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2 a O O r r R r R r R              (3) ifadesinde yerine yazarsak, 2 2 1 1 2 2 2 ( ) ( ) 2 a t R r R r R            Buradan, 2 2 2 1 1 2 ( ) ( ) t R a R r R r      (4) olarak bulunur. Benzer biçimde, 2 2 2 4 1 4 ( ) ( ) t R b R r R r      (5) 2 2 2 3 3 4 ( ) ( ) t R c R r R r      (6) 2 2 2 2 2 3 ( ) ( ) t R d R r R r      (7) olarak bulunur. Benzer yöntemler kullanılarak; 2 2 2 5 1 3 ( ) ( ) t R e R r R r      (8) 2 2 2 6 2 4 ( ) ( ) t R f R r R r      (9) olarak bulunur. PQRS kirişler dörtgeninde Ptolemy teoremini uygularsak; a c b d e f      ise; a,b,c,d,e ve f değerlerini yerine yazarsak, 23 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 2 3 1 2 3 4 1 4 2 3 2 2 2 2 5 6 1 3 2 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t R t R t R t R R r R r R r R r R r R r R r R r t R t R R r R r R r R r                              1 4 2 3 1 2 3 4 1 4 2 3 5 6 1 3 2 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t R t R t R t R R r R r R r R r R r R r R r R r t R t R R r R r R r R r                               1 3 4 2 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) t R t R t R t R R r R r R r R r R r R r R r R r t R t R R r R r R r R r                               2 2 1 3 2 4 5 6 1 2 3 4 1 2 3 4 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) R t t t t R t t R r R r R r R r R r R r R r R r                   Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında , 1 3 2 4 5 6 t t t t t t      Sonucu elde edilir. Bu da ispatın bittiğini gösterir. Teorem 7: O merkezli çemberin içine çizilen 1 2 3 O O O , , merkezli çemberler içten teğet ve O4 merkezli çember dıştan teğet olsun. O ve O 1 2 merkezli çemberlerin teğetleri 1 t , O ve O 2 3 merkezli çemberlerin teğetleri 2 t , O ve O 3 4 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri 3 t , O ve O 4 1 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri 4 t , O ve O 1 3 merkezli çemberlerin teğetleri 5 t , O ve O 2 4 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri 6 t olsun. Bu durumda teğetler arasında aşağıdaki ilişki vardır. 1 t . 3 t + 2 t . 4 t = 5 t . 6 t 24 A B C D E F G H O1 O K L M N O2 O3 O4 Şekil 17 P Q R S t5 t6 t1 t2 t3 t4 İspat : O1 O S P t4 H G b  t4 r1 . r4+r1 r4 R+r4 R-r1 O4 T Şekil 18 Şekil 17 Şekil 18 25 1 2 3 4 O O O veO , , merkezli çemberlerin teğetlerini şekil 17’de olduğu gibi çizelim. Şekilde görüldüğü gibi SOP üçgeninde kosinüs teoremi uygularsak; 2 2 2 2 SP b R R R R        2 cos 2 2 2 b R R      2 2 cos 2 2 b R    2 (1 cos )  (1) cos '  yı çekersek ; 2 2 cos 1 2 b R     (2) O TO1 4 üçgenine Pisagor teoremi uygularsak; 2 2 2 1 4 4 4 1 O O t r r    ( ) (3) O OO 1 4 üçgenine kosinüs teoremi uygularsak; 2 2 2 1 4 1 4 1 4 O O R r R r R r R r           ( ) ( ) 2 ( ) ( ) cos (2) de bulduğumuz değeri bu denklemde yerine yazarsak; 2 2 2 2 1 4 1 4 1 4 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 1 2 b O O R r R r R r R r R                  2 2 2 2 2 2 1 1 4 4 1 4 1 4 1 4 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 b R Rr r R Rr r R Rr Rr r r R r R r R                 Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında, 2 2 2 1 4 1 4 1 4 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2 b O O r r R r R r R              (3) ifadesinde yerine yazarsak, 2 2 4 1 4 2 2 ( ) ( ) 2 b t R r R r R            Buradan, 2 2 2 4 1 4 ( ) ( ) t R b R r R r      (4) olarak bulunur. Şekil 15 ‘in ispatında kullandığımız ve 2 b yi bulmak için kullandığımız yöntemleri uygularsak; 2 2 2 1 1 2 ( ) ( ) t R a R r R r      (5) 26 2 2 2 3 3 4 ( ) ( ) t R c R r R r      (6) 2 2 2 2 2 3 ( ) ( ) t R d R r R r      (7) olarak bulunur. Benzer biçimde, 2 2 2 5 1 3 ( ) ( ) t R e R r R r      (8) 2 2 2 6 2 4 ( ) ( ) t R f R r R r      (9) olarak bulunur. PQRS kirişler dörtgeninde Ptolemy teoremini uygularsak; a c b d e f      ise; a,b,c,d,e ve f değerlerini yerine yazarsak, 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 4 3 1 2 3 4 2 3 1 4 2 2 2 2 5 6 1 3 2 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t R t R t R t R R r R r R r R r R r R r R r R r t R t R R r R r R r R r                              1 4 2 3 1 2 3 4 1 4 2 3 5 6 1 3 2 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t R t R t R t R R r R r R r R r R r R r R r R r t R t R R r R r R r R r                               1 3 4 2 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) t R t R t R t R R r R r R r R r R r R r R r R r t R t R R r R r R r R r                               2 2 1 3 2 4 5 6 1 2 3 4 1 2 3 4 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) R t t t t R t t R r R r R r R r R r R r R r R r                   Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında , 1 3 2 4 5 6 t t t t t t      Sonucu elde edilir. Bu da ispatın bittiğini gösterir. 27 Teorem 8: O merkezli çemberin içine çizilen 1 3 O O, merkezli çemberler dıştan teğet ve 2 4 O O, merkezli çemberler içten teğet olsun. O ve O 1 2 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri 1 t , O ve O 2 3 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri 2 t , O ve O 3 4 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri 3 t , O ve O 4 1 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri 4 t , O ve O 1 3 merkezli çemberlerin teğetleri 5 t , O ve O 2 4 merkezli çemberlerin teğetleri 6 t olsun. Bu durumda teğetler arasında aşağıdaki ilişki vardır. 1 t . 3 t + 2 t . 4 t = 5 t . 6 t A B D E G O1 O M L O2 O4 Şekil 19 P Q R S t5 t6 t1 t2 t3 t4 H C K O3 N F İspat : 1 2 3 4 O O O veO , , merkezli çemberlerin teğetlerini şekil 19’da olduğu gibi çizelim. Şekil 15 ve şekil 17 ‘nin ispatında kullandığımız yöntemleri uygularsak; 2 2 2 1 1 2 ( ) ( ) t R a R r R r      (1) olarak bulunur. Benzer biçimde; 2 2 2 4 1 4 ( ) ( ) t R b R r R r      (2) 28 2 2 2 3 3 4 ( ) ( ) t R c R r R r      (3) 2 2 2 2 3 2 ( ) ( ) t R d R r R r      (4) olarak bulunur. Benzer yöntemleri kullanarak; 2 2 2 5 1 3 ( ) ( ) t R e R r R r      (5) 2 2 2 6 2 4 ( ) ( ) t R f R r R r      (6) olarak bulunur. PQRS kirişler dörtgeninde Ptolemy teoremini uygularsak; a c b d e f      ise; a,b,c,d,e ve f değerlerini yerine yazarsak, 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 4 3 1 2 3 4 2 3 1 4 2 2 2 2 5 6 1 3 2 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t R t R t R t R R r R r R r R r R r R r R r R r t R t R R r R r R r R r                              1 4 2 3 1 2 3 4 1 4 2 3 5 6 1 3 2 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t R t R t R t R R r R r R r R r R r R r R r R r t R t R R r R r R r R r                               1 3 4 2 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) t R t R t R t R R r R r R r R r R r R r R r R r t R t R R r R r R r R r                               2 2 1 3 2 4 5 6 1 2 3 4 1 2 3 4 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) R t t t t R t t R r R r R r R r R r R r R r R r                   Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında , 1 3 2 4 5 6 t t t t t t      Sonucu elde edilir. Bu da ispatın bittiğini gösterir. 29 Teorem 9: O merkezli çemberin içine çizilen 1 2 O O, merkezli çemberler dıştan teğet ve 3 4 O O, merkezli çemberler içten teğet olsun. O ve O 1 2 merkezli çemberlerin teğetleri 1 t , O ve O 2 3 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri 2 t , O ve O 3 4 merkezli çemberlerin teğetleri 3 t , O ve O 4 1 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri 4 t , O ve O 1 3 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri 5 t , O ve O 2 4 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri 6 t olsun. Bu durumda teğetler arasında aşağıdaki ilişki vardır. 1 t . 3 t + 2 t . 4 t = 5 t . 6 t A B C D E F G O1 O L M N O2 O3 O4 Şekil 20 P Q R S t5 t6 t1 t2 t3 t4 K H 30 İspat : 1 2 3 4 O O O veO , , merkezli çemberlerin teğetlerini şekil 20’de olduğu gibi çizelim. Şekil 15 ve şekil 17’nin ispatında kullandığımız yöntemleri uygularsak; 2 2 2 1 1 2 ( ) ( ) t R a R r R r      (1) 2 2 2 4 1 4 ( ) ( ) t R b R r R r      (2) 2 2 2 3 3 4 ( ) ( ) t R c R r R r      (3) 2 2 2 2 2 3 ( ) ( ) t R d R r R r      (4) olarak bulunur. Benzer biçimde, 2 2 2 5 1 3 ( ) ( ) t R e R r R r      (5) 2 2 2 6 2 4 ( ) ( ) t R f R r R r      (6) olarak bulunur. PQRS kirişler dörtgeninde Ptolemy teoremini uygularsak; a c b d e f      ise; a,b,c,d,e ve f değerlerini yerine yazarsak, 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 4 3 1 2 3 4 2 3 1 4 2 2 2 2 5 6 1 3 2 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t R t R t R t R R r R r R r R r R r R r R r R r t R t R R r R r R r R r                              1 4 2 3 1 2 3 4 1 4 2 3 5 6 1 3 2 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t R t R t R t R R r R r R r R r R r R r R r R r t R t R R r R r R r R r                               1 3 4 2 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) t R t R t R t R R r R r R r R r R r R r R r R r t R t R R r R r R r R r                               2 2 1 3 2 4 5 6 1 2 3 4 1 2 3 4 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) R t t t t R t t R r R r R r R r R r R r R r R r                   31 Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında , 1 3 2 4 5 6 t t t t t t      Sonucu elde edilir. Bu da ispatın bittiğini gösterir. Teorem 10: O merkezli çemberin içine çizilen 1 2 3 O O O , , merkezli çemberler dıştan teğet ve O4 merkezli çember içten teğet olsun. O ve O 1 2 merkezli çemberlerin teğetleri 1 t , O ve O 2 3 merkezli çemberlerin teğetleri 2 t , O ve O 3 4 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri 3 t , O ve O 4 1 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri 4 t , O ve O 1 3 merkezli çemberlerin teğetleri 5 t , O ve O 2 4 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri 6 t olsun. Bu durumda teğetler arasında aşağıdaki ilişki vardır. 1 t . 3 t + 2 t . 4 t = 5 t . 6 t D O1 O Şekil 21 P Q R S t5 t6 t2 t3 t4 O3 B A C N M O2 t1 O4 F E G H L K 32 İspat : 1 2 3 4 O O O veO , , merkezli çemberlerin teğetlerini şekil 21’de olduğu gibi çizelim. Önceki ispatlarda kullandığımız yöntemlerden faydalanarak; 2 2 2 1 1 2 ( ) ( ) t R a R r R r      (1) 2 2 2 4 1 4 ( ) ( ) t R b R r R r      (2) 2 2 2 3 3 4 ( ) ( ) t R c R r R r      (3) 2 2 2 2 2 3 ( ) ( ) t R d R r R r      (4) olarak bulunur. Benzer biçimde, 2 2 2 5 1 3 ( ) ( ) t R e R r R r      (5) 2 2 2 6 2 4 ( ) ( ) t R f R r R r      (6) olarak bulunur. PQRS kirişler dörtgeninde Ptolemy teoremini uygularsak; a c b d e f      ise; a,b,c,d,e ve f değerlerini yerine yazarsak, 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 4 3 1 2 3 4 2 3 1 4 2 2 2 2 5 6 1 3 2 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t R t R t R t R R r R r R r R r R r R r R r R r t R t R R r R r R r R r                              1 4 2 3 1 2 3 4 1 4 2 3 5 6 1 3 2 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t R t R t R t R R r R r R r R r R r R r R r R r t R t R R r R r R r R r                               1 3 4 2 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) t R t R t R t R R r R r R r R r R r R r R r R r t R t R R r R r R r R r                               2 2 1 3 2 4 5 6 1 2 3 4 1 2 3 4 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) R t t t t R t t R r R r R r R r R r R r R r R r                   33 Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında , 1 3 2 4 5 6 t t t t t t      Sonucu elde edilir. Bu da ispatın bittiğini gösterir. BİLGİSAYAR UYGULAMALARI: Teorem 1 Sketchpad Uygulaması Teorem 2 Sketchpad Uygulaması 34 Teorem 3 Sketchpad Uygulaması Teorem 4 a Sketchpad Uygulaması 35 Teorem 4 b Sketchpad Uygulaması Teorem 5 Sketchpad Uygulaması SONUÇLAR: Projemizde Ptolemy Teoreminden faydalanarak herhangi bir ABCD kirişler dörtgeni üzerinde orijinal bağıntılar elde ettik. Bunun yanında bir çembere içten ya da dıştan teğet olan dört çemberin aralarındaki teğetlerinin uzunlukları arasında çok sade bir bağıntının olduğunu gösterdik ve bunu ispat ettik.